Calculs de probabilités

1. Réunions, intersections

   1. Définitions
      On appelle réunion des ensembles $A$ et $B$ l'ensemble noté $A\bigcup B$ obtenu en mélageant les éléments des ensembles $A$ et $B$.
      On appelle intersection des ensembles $A$ et $B$ l'ensemble noté $A\bigcap B$ des éléments communs à $A$ et $B$.
      
      
      La réunion correspond au connecteur logique "ou", l'intersection au connecteur logique "et".
   2. Événements incompatibles
      
      
      Quand les événements $A$ et $B$ sont incompatibles, ils n'ont aucun élément commun. Dans ce cas, la probabilité de la réunion $A\bigcup B$ est donnée par la formule
   3. Cas général
      Dans ce cas, si on ajoute les probabilités des événements $A$ et $B$, les élémments de l'intersection sont comptés deux fois. Par conséquent, la formule générale est dans ce cas :
      $p\left(A\bigcup B\right)$...

2. Arbres

   1. Problèmes utilisant des arbres
      • Quand utilise-t-on un arbre ?
        On utilise un arbre quand l'épreuve aléatoire est une succession d'opérations, par exemple si on jette deux fois un dé, ou si on veut la probabilité qu'une famille de 3 enfants ait exactement 2 garçons, ou si à la cantine on a 3 choix d'entrée, 2 de plats et 4 de dessert.
      • Comment construit-on l'arbre ?
        Il y a autant de niveaux que d'opérations qui se succèdent, et à chaque niveau on a autant de bifurcations que l'opération a de possibilités.
        Pour le lancer de 2 dés, l'arbre a
        Pour les familles de 3 enfants, l'arbre a
        Pour la cantine, l'arbre a
      • Quelles sont les issues de l'épreuve ?
        On obtient les issues de l'épreuve en parcourant l'arbre, niveau après niveau, jusqu'à l'extrêmité des branches.
      • Combien y a-t-il d'issues ?
        On obtient le nombre d'issues en multipliant entre eux les nombres de possibilités de chaque opération
      • Qu'est-ce qu'un arbre pondéré ?
        On a un arbre pondéré quand les probabilités des résultats d'une (ou plusieurs) opérations ne sont pas toutes égales. Par exemple, si on jette deux fois un dé truqué, ou si, pour les familles de trois enfants, on tient compte de la probabilité exacte de naissance d'un grçon, qui est de 0,51 et non de 0,50.
      • Remarque
        On peut aussi utiliser un arbre quand on étudie plusieurs caractéristiques dans une même population
   2. Règles de calcul dans les arbres
      On a 3 règles importantes
      • Les probabilités au départ de chaque bifurcation ont pour somme 1
      • Quand on suit une branche, on multiplie les probabilités
      • Quand on prend plusieurs branches, on ajoute les probabilités
   3. Exemples
      On jette successivement deux dés parfaits. Quelle est la probabilité que la somme des faces soit égale à 7 .
      Dans une famille de trois enfants, quelle est la probabilité qu'il y ait exactement deux garçons ?
      • En supposant qu'il naît autant de garçons que de filles.
      • En supposant que la probabilité de naissance d'un garçon est 0,51

3. Tableaux

   On utilise des tableaux quand on étudie deux caracytéristiques dans une même population, ou quand on a une sucession de deux opérations.
   Le choix entre un arbre et un tableau dépend du problème, certains problèmes se traitent mieux avec un arbre, d'autres mieux avec un tableau.
   Quand on fait un tableau, il ne faut pas oublier la ligne et la colonne qui donnent le total.
   Un exemple qui se traite bien avec un tableau :
   Dans une entreprise, il y a des employés, des ouvriers et des cadres. 45% des salariés (tous types confondus) sont des femmes. 40% des salariés sont des ouvriers, 10% sont des cadres. 30% des cadres sont des femmes et 60% des femmes sont des employés.
   Construire le tableau des effectifs de l'entreprise